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除了π,e,0.618,还有没有其他一些有特殊意义的数?

一直觉得,数学和物理中的各种常数是最令人敬畏的东西,它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的,偏偏就是这个样呢。笔者下面举例说明一些,期待你有所收获。

特殊形式的素数

费马数(Fermat Number)

费马数是以数学家费马命名一组自然数,具有形式:

其中n为非负整数。

若2^n + 1是素数,可以得到n必须是2的幂。所有具有形式2^n + 1的素数必然是费马数,这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有F0至F4五个。

1640年,费马提出了一个猜想,认为所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立,于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而,欧拉在1732年否定了这一猜想,他给出了分解式:

F5 = 2^32 + 1 = 4294967297

= 641 × 6700417

费马之后的欧拉,尽管推翻了“费马数”的结论(“费马数”即为素数的普遍公式),证明了费马小定理的正确性,并在《代数指南》中使用“无限下降法”,使之成为数论研究中很重要的方法技巧之一,却依旧未能将众多理论统一起来,使初等数论成为一个完备的理论体系。

欧洲17世纪数学网络集线器,马兰·梅森,梅森数

形如2^p-1的一类数,其中指数p是素数,常记为Mp 。如果梅森数是素数,就称为梅森素数早在公元前300多年,古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^p-1的先河。他在名著《几何原本》第九章中论述完全数时指出:如果2^p-1是素数,则 2^p-1(2p-1)是完全数。

前几个较小的梅森数大都是素数,然而梅森数越大,梅森素数也就越难出现。

2019年据外媒报道,根据互联网梅森素数大搜索Mersenne Prime Search(GIMPS)项目官方消息,来自美国佛罗里达州的一位35岁的IT专业人士发现了人类已知的最大梅森素数。该素数被称为M82589933,是已知的第51个梅森素数2^82589933-1(即2的82589933次方减1)。

素数是指在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。素数有无穷多个,但目前却只发现有极少量的素数能表示成 2^p-1(p为素数)的形式,这就是梅森素数(如3、7、31、127等等)。它是以17世纪法国数学家马林·梅森的名字命名。

梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径;它的探究推动了数学皇后——数论的研究,促进了计算技术、程序设计技术、密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。

探寻梅森素数最新的意义是:它促进了网格技术的发展。而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术。另外,探寻梅森素数的方法还可用来测试计算机硬件运算是否正确。

由于探寻梅森素数需要多种学科和技术的支持,所以许多科学家认为:梅森素数的研究成果,在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家索托伊(M.Sautoy)甚至认为它是标志科学发展的里程碑。可以相信,梅森素数这颗数学海洋中的璀璨明珠正以其独特魅力,吸引着更多的有志者去探寻和研究。

数学中特殊意义的常数Khinchin 常数 K ≈ 2.685452

每一个实数都能写成 a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + …)) 的形式,其中 a0, a1, a2, … 都是整数。我们就把 [a0; a1, a2, a3, …] 叫做该数的连分数展开。和小数展开比起来,连分数展开具有更加优雅漂亮的性质,这使得连分数成为了数学研究中的必修课。

在 1964 年出版的一本连分数数学课本中,数学家 Khinchin 证明了这样一个惊人的结论:除了有理数、二次整系数方程的根等部分特殊情况以外,几乎所有实数的连分数展开序列的几何平均数都收敛到一个相同的数,它约为 2.685452 。例如,圆周率 π 的连分数展开序列中,前 20 个数的几何平均数约为 2.62819 ,前 100 个数的几何平均数则为 2.69405 ,而前 1 000 000 个数的几何平均数则为 2.68447 。

目前,人们对这个神秘常数的了解并不太多。虽然 Khinchin 常数很可能是无理数,但这一点至今仍未被证明。而 Khinchin 的精确值也并不容易求出。 1997 年, David Bailey 等人对一个收敛极快的数列进行了优化,但也只求出了 Khinchin 小数点后 7350 位。

Conway 常数 λ ≈ 1.303577269

你能找出下面这个数列的规律吗?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, …

这个数列的规律简单而又有趣。数列中的第一个数是 1 。从第二个数开始,每个数都是对前一个数的描述:第二个数 11 就表示它的前一个数是“ 1 个 1 ”,第三个数 21 就表示它的前一个数是“ 2 个 1 ”,第四个数 1211 就表示它的前一个数是“ 1 个 2 , 1 个 1 ”……这个有趣的数列就叫做“外观数列”。

外观数列有很多有趣的性质。例如,数列中的数虽然会越来越长,但数字 4 永远不会出现。 1987 年,英国数学家 John Conway 发现,在这个数列中,相邻两数的长度之比越来越接近一个固定的数。最终,数列的长度增长率将稳定在某个约为 1.303577 的常数上。 John Conway 把这个常数命名为 Conway 常数,并用希腊字母 λ 表示。 John Conway 证明了 λ 是一个无理数,它是某个 71 次方程的唯一实数解。

Champernowne 常数 C10 ≈ 0.1234567

把全体正整数从小到大依次写成一排,并在最前面加上一个小数点,便得到了一个无限小数 0.1234567891011121314… 。这个数是由英国统计学家 Champernowne 于 1933 年构造出来的,他把它命名为 Champernowne 常数,用符号 C10 表示。与其它的数学常数相比,Champernowne 常数有一个很大的区别:这个数仅仅是为了论证一些数学问题而人为定义出来的,它并未描述任何一个数学对象。

Champernowne 常数有很多难能可贵的性质。首先,容易看出它是一个无限不循环小数,因此它也就是一个无理数。其次,它还是一个“超越数”,意即它不是任何一个整系数多项式方程的解。它还是一个“正规数”,意即每一种数字或者数字组合出现的机会都是均等的。在众多数学领域中, Champernowne 常数都表现出了其非凡的意义。

物理学中的一些特殊数字,这几个数字不理解基本意义,基本可以告别物理考试了!

在物理学中有一些特殊的数字,有些为常数(恒量),有些则为定量一些基本单位。

0 摄氏度(℃)或 0 开尔文(K)0 摄氏度(℃)是摄氏温标的零度,0 开尔文(K)是热力学温标的零度,即绝对零度。

这两者之间的关系是:

0℃=273.15K;

0K=-273.15℃。

绝对零度(0K)是低温的极限,从理论上说是无法达到的。

1 个标准大气压1atm = 760 mm汞柱 = 76 cm汞柱 = 1.013×10^5 Pa = 10.336 m水柱。

标准大气压值的规定,随着科学技术的发展发生过几次变化。最初规定在摄氏温度 0℃、纬度 45°、晴天时海平面上的大气压强为标准大气压,其值大约相当于 76 厘米汞柱高。后来发现,在这个条件下的大气压强值并不稳定,它受风力、温度等条件的影响而变化。于是就规定 76 cm汞柱高为标准大气压值。但是后来又发现 76 cm汞柱高的压强值也是不稳定的,汞的密度大小受温度的影响而发生变化;g 值也随纬度而变化。为了确保标准大气压是一个定值,1954 年第十届国际计量大会决议声明,规定标准大气压值为:

1 标准大气压=101325 N/m^2。

1 原子质量单位1u = 1.660566×10^-27kg。质子的质量为 1.007277u,中子的质量为 1.008665u,氦核(α粒子)的质量为 4.001509u。根据爱因斯坦质能方程 E = c^2m(ΔE = c^2Δm),在发生核反应时,反应前后质量若亏损 1 原子质量单位,那么释放出的能量为。

E=(3×108)2×1.660566×10‾27

=1.4945094×10‾10焦耳

=931.5兆电子伏特

光年在天文学研究中,宇宙的尺寸、一般星系之间的距离都十分遥远,取光年作为丈量的单位就比较合适。

1T表示相当于地球同一种量的倍数,这样可以方便、形象地拿地球与其他星球作比较。电子伏特1eV = 1.6×10^-19 J,也就是一个电子在电场中受到 1 V加速电压加速所增加的动能。电子伏特数值常表示带电粒子在电场中能量的大小。

光速c = 3 × 10^8m/s,常说光速为30万km/s,而实际上光在 1 s中通过的距离为 299792458 m,即 29.9792458 万km/s。光速是目前已知的最大速度,物体达到光速时动能无穷大,所以按目前人类的认知来说,达到光速是不可能的。

圆周率π = 3.14。π这应是数学的“专属”数字,但是在物理学的研究中也经常用到它,特别是在研究曲线运动时。

热功当量J = 4.18 J=1 卡。由于计量热量的单位卡(千卡)已经废止使用,热功当量是出现在旧教材上。热功当量是反映热量与能量之间的相当关系,即 1 卡的热量相当于 4.18 J 的能量。十九世纪四十年代英国物理学家焦耳设计了测量的实验装置,用了不同材料反复进行实验,并不断改进实验设计,最终测得较为精确的当量值。

万有引力恒量G = 6.67×10^-11N·m^2/kg^2。这个恒量与万有引力定律有关。万有引力定律是牛顿提出的,其表达式为:F = GMm/r^2。万有引力恒量是由英国物理学家卡文迪许自行设计的扭称测量出来的,他测出的数值为 6.754×10^-11N·m^2/kg^2,与之后的公认值只相差 1.26%。这个数值的测定,具有十分重大的意义。

普朗克常量h = 6.6260693×10^-34 J·s。1900 年,德国物理学家普朗克在研究电磁辐射的能量分布时发现,只有认为电磁波的发射和接收不是连续的,而是一份一份地进行的,每一份的能量等于hν,理论计算的结果才能跟实验事实完全符合,其中ν为光的频率,h 为一个普适常量,叫做普朗克常量。普朗克建立起了量子力学的新学说。在这个学说的启发下,为了解释光电效应的规律,爱因斯坦于 1905 年提出,在空间传播的光也不是连续的,而是一份一份的,每一份叫做一个光子,光子的能量跟它的频率成正比,即 E = hν,式中的 h 就是普朗克提出普朗克常量。这个学说后来就称为光子说。

单位制中有7个基本单位单位制中表征长度的米(m);表征质量的千克(kg);表征时间的秒(s);表征温度的开尔文(K);表征物质的量的摩尔(mol);表征电流强度的安培(A);表征光强度的坎德拉(kd)。

76厘米汞柱76 cm汞柱为一个标准大气压值,也就是说 76 cm高汞柱所产生的压强就是 1 个标准大气压

静电力恒量9.0×10^-9 N·m^2/C^2。库仑通过扭秤装置得出了著名的库仑定律 F = kQ<1>Q<2>/r^2,并测出了静电力恒量。

931.5 MeV,这涉及到爱因斯坦的质能方程,即 E=c^2m(ΔE = c^2Δm)。在发生核反应时,若反应前后质量亏损 1 原子质量单位,那么就会释放出 931.5 MeV的能量。

地球表面处的重力加速度实为 9.8 m/s^2(平均值),为便于计算,常常取值 10 m/s^2。初中在未引入重力加速度概念时,用常数 g 来反映物重与质量的关系 G=mg,g=9.8 N/kg,即质量为 1 kg 的物体在地球表面附近其物重为9.8 N。

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